Le moment de conclure

Leçon Il, 13 décembre 1977

Ça, c’est pour vous indiquer que c’est un tore. C’est pour ça que j’ins­cris trou. En principe, c’est un tore à quatre. C’est un tore à quatre, tel qu’un quelconque des quatre soit retourné.

Voilà le tore à quatre dont il s’agit [figure ΙΙ-1]

C’est Soury qui s’est aperçu qu’en retournant un quelconque des quatre, on obtient ce que je vous montre, ce que je vous montre dans 1a figure de gauche [figure H-2] . En retournant un quelconque des quatre, on obtient cette figure qui consiste en un tore, à ceci près que, à l’intérieur du tore, nous ne faisons que ce qui se présente là au tableau, à savoir des ronds de ficelle.

Mais chacun, chacun de ce que vous voyez 1à, chacun de ces ronds de ficelle est lui-même un tore. Et ce rond de ficelle retourné comme tore donne le même résultat. Le même résultat, c’est-à-dire qu’à l’intérieur du tore qui enveloppe tout, chacun des ronds de ficelle qui est pourtant un tore, chacun des ronds de ficelle, dont je vous le répète qu’il est également un tore, chacun de ces ronds de ficelle fonctionne de la façon que Soury a formulée, formulée sous 1a forme de ce dessin.

Ceci implique une dissymétrie. Je veux dire qu’il a choisi un tore parti­culier pour en faire le tore tel que je viens de le dessiner. C’est le tore qu’il a retourné – je vous prie d’y prendre garde – et, à ce titre, il lui a donné un privilège sur les autres tores qui se trouvent ne figurer ici qu’à l’état de ronds de ficelle.

Pourtant, [figure ΙΙ-1] i1 est tout à fait patent que le tore qu’il a choisi, le tore qu’il a choisi et qui pourrait se désigner par 1, 2, 3, 4, en partant de l’arrière vers ce qui est en avant

– celui-là est en avant,

– celui-1à qui est un peu plus en avant que celui-1à, je parle de celui-1à, qui est un peu plus en avant, c’est pour ça que je lui mets le n°3,

– et celui-1à est tout à fait en avant. Aussi bien, comme vous le voyez, pour peu que vous ayez un peu d’imagination, comme vous le voyez, il y en a quatre et c’est en en choisissant un et en le retournant qu’on obtient la figure que vous voyez à gauche [figure ΙΙ-2] , et cette figure est équivalente pour n’impor­te lequel des ronds, je veux dire des tores.

Néanmoins j’objecte à Soury ceci qui n’est pas moins vrai, c’est à savoir qu’en retournant n’importe lequel de ce qui s’appelle nœud bor­roméen, on obtient 1a figure suivan­te [figure ΙΙ-3]

Le 2 et 3 étant indifférents, c’est de retourner ce que j’ai désigné ici comme 1, à savoir un des éléments du nœud borroméen, dont vous savez comment i1 se dessine [figure Il-4]

Dans 1a figure qui est à gauche, celle-ci [figure ΙΙ-2] , il est tout à fait clair que les ronds de ficelle qui sont à l’intérieur, à l’intérieur du tore – et qui d’une façon équivalente à ce que j’ai dit tout à l’heure peuvent être figurés comme tores, ce que je fais absolument-chacun de ces tores, retourné, enveloppe les deux autres tores.

De même que ce qui est désigné en 1 ici [figure ΙΙ-3] est un tore qui a pour propriété d’envelopper les deux autres, à condition qu’il soit retour­né. Ce qui donc est dans la figure de droite [figure ΙΙ-4] devient ce qui est dans 1a figure de gauche [figure Il-3] , à condition que chacun de ces tores soit retourné.

Ι1 est patent que les deux figures de gauche [figures ΙΙ-2 et ΙΙ-3] sont plus complexes que les deux figures de droite [figures II-1 et 11-4].

En outre ce que fait apparaître 1a troisième figure, c’est ceci qu’une fois retourné, le tore que j’ai désigné par 1 sur la figure, en allant de gauche à droite, sur la figure troisième…

Quelque chose me vient, me vient à l’esprit à propos de ces tores : sup­posez que ce que j’ai appelé « privilégier un tore » se passe au niveau du tore 2 par exemple. Est-ce que vous pouvez imaginer ce que le tore 2 devient, en le privilégiant par rapport au tore 3, à savoir en le retournant à l’intérieur, à l’intérieur du tore que j’ai désigné du nom de 1, à savoir en privilégiant le 2 par rapport au tore 3 ?

Dans un cas, le retournement ne changera rien au rapport du tore 2 par rapport au tore 3, dans l’autre, i1 équivaudra à une rupture du nœud bor­roméen.

Ceci tient au fait que le nœud borroméen se comporte différemment selon que, sur le tore retourné, la rupture se produit d’une façon différente. – section perpendiculaire : 1

– section concentrique : 2

Je vais vous indiquer sur 1a figure de gauche [voir figure ΙΙ-3] ceci qui est patent, c’est que, à sectionner (sur le mode concentrique) le tore retourné de 1a façon que je Viens de faire, le nœud borroméen se défait.

Par contre, à le sectionner de cette autre façon (section perpendiculai­re) dont il est, je suppose, pour vous tous évident que c’est équivalent à ce que je dessine ici [figure ΙΙ-5], que c’est équivalent, le nœud borroméen ne se dissout pas, alors que dans le cas présent, 1a coupure (section longitu­dinale) que je viens de faire ici dissout le nœud borroméen.

Le privilège donc dont il s’agit n’est pas quelque chose qui soit univoque. Le retournement d’un quelconque de ce qui aboutit à 1a première figu­re, le retournement ne donne pas le même résultat selon que la coupure se présente sur le tore d’une façon telle qu’elle soit, si je puis dire, concen­trique au trou ou selon qu’il est perpendiculaire au trou.

Ι1 est tout à fait clair – ceci se voit sur la première… 1a deuxième figu­re [figure ΙΙ-3] – i1 est tout à fait clair que c’est 1a même chose, je veux dire qu’à rompre selon un tracé qui est celui-ci (section concentrique), le nœud borroméen à trois se dissout, car i1 est tout à fait clair que même à l’état de tore, les deux figures que vous voyez là se dissolvent, je veux dire se séparent, si le tore retourné, retourné est coupé dans le sens que j’ai appelé longitudinal, alors que je peux appeler l’autre sens transversal, le transversal ne libère pas le tore à trois, par contre le longitudinal le libère.

Ι1 y a donc le même choix, le même choix à faire sur le tore retourné, le même choix à faire selon le cas où l’on veut, et où l’on ne veut pas, dis­soudre le nœud borroméen.

La figure de droite [figure ΙΙ-5] , celle qui matérialise la façon dont i1 faut couper le tore environnant pour – je pense que vous le voyez – pour libérer les trois, les trois qui restent, i1 est bien clair que, à dessiner les choses comme ça, on voit que ceci que je désigne à l’occasion de 2, que ceci se libère du 3 et que secondairement le 3 se libère du 4, [voir numé­ros des figures 11-1 et 11-21.

Je propose ceci, ceci qui est amorcé par le fait que dans la façon de répartir la figuration du 4, le nommé Soury a eu une préférence, je veux dire qu’il préfère marquer que le 4 est à dessiner comme cela.

C’est également un nœud borroméen.

Mais je suggère ceci qu’il y a un nœud borroméen à 6, à 6 qui n’est pas le même qu’un nœud borroméen qui, si je puis dire, se suivrait à la queue ­leu-leu.

C’est un nœud borroméen plus complexe dont je vous montre la façon dont il s’organise, à savoir que, par rapport aux deux que j’ai dessinés d’abord, ces deux sont équivalents à ce qui se produit du fait que l’un est sur l’autre, et dans ce cas, i1 faut que le nœud borroméen s’inscrive en étant sur celui qui est dessus et sous celui qui est dessous. C’est ce que vous voyez là : il est sous celui qui est dessous et sur celui qui est dessus.

C’est pas commode, c’est pas commode à dessiner. Voilà celui qui est dessous, le troisième. Vous avez à propos de ces deux couples, de ces 2 couples qui sont figurés là, vous n’avez qu’à vous apercevoir que celui-ci est dessus, le troisième couple vient donc dessus et dessous celui qui est dessous.

Je pose la question: est-ce que retourner, retourner un de ceux qui sont ici, donne le même résultat que ce que j’ai appelé la figure à la queue leu leu, c’est-à-dire, ainsi, celle qui se présente ainsi 1, 2, 3, 4, 5, 6, le tout se terminant par le rond qui est ici. Est-ce que retourner le 6 ainsi fabriqué donnera le même résultat que le retournement d’un quelconque de ces trois-ci ? Nous avons déjà une indication de réponse : c’est que le résultat sera différent.

Ι1 sera différent parce que la façon de retourner un quelconque de ces six que j’appelle à la queue leu leu donnera quelque chose d’analogue à ce qui est figuré ici [figure ΙΙ-2] . Par contre, la façon dont cette figure [figu­re ΙΙ-7] se retourne donnera quelque chose de différent.

Je m’excuse d’avoir mis en cause directement Soury. Ι1 est certainement tout à fait valable en ayant introduit ce que j’énonce aujourd’hui. La dis­tinction de ce que j’ai appelé la coupure longitudinale d’avec la coupure transversale est essentielle. Je pense que vous en avez suffisamment l’indi­cation par cette coupure ici.

La façon dont est faite la coupure est tout à fait décisive. Qu’est-ce qu’il advient du retournement d’un des six, tel que je l’ai désigné ici ? [figure ΙΙ-7] C’est ce qui est important à savoir et c’est en le remettant entre vos mains que je désire en avoir le fin mot.

Voilà, je m’en tiendrai là pour aujourd’hui.